某些受限 Clifford+T 电路的数论刻画

Kliuchnikov、Maslov 和 Mosca 在 2012 年证明，一个 $2\times 2$ 酉矩阵 $V$ 能被单量子比特 Clifford+$T$ 电路精确表示，当且仅当 $V$ 的元素属于环 $\mathbb{Z}[1/\sqrt{2},i]$。同年晚些时候，Giles 和 Selinger 表明，同样的限制适用于能被多量子比特 Clifford+$T$ 电路精确表示的矩阵。这些数论刻画为 Clifford+$T$ 电路的结构提供了新的认识，并导致了量子编译领域的显著进展。在本文中，我们通过考虑 $\mathbb{Z}[1/\sqrt{2},i]$ 的子环上的酉矩阵，为某些受限 Clifford+$T$ 电路提供数论刻画。我们聚焦于子环 $\mathbb{Z}[1/2]$、$\mathbb{Z}[1/\sqrt{2}]$、$\mathbb{Z}[1/i\sqrt{2}]$ 和 $\mathbb{Z}[1/2,i]$，并证明元素属于这些环的酉矩阵对应于著名通用门集上的电路。在每种情况下，所需的门集是通过将经典可逆门集 $\{X, CX, CCX\}$ 扩展以一个 Hadamard 门的类比和一个可选的相位门而获得的。