qutrit Clifford+T 门的算术性、薄性和效率

Clifford+T 门集是 PU(2) 的一个拓扑生成集，已在单量子比特量子计算的角度得到充分研究。发现它生成 PU(2) 的一个完全 S-算术子群，这导致了量子计算与数论之间富有成效的交互，并证明了这些门中的词以近乎最优的方式覆盖 PU(2)。在本文中，我们研究了 PU(3) 的类似门集。我们证明，在 PU(3) 中，由 Clifford+T 门生成的群不是算术的——实际上，它是一个薄矩阵群，即在其环境 S-算术群中具有无限指数的 Zariski 稠密集。另一方面，我们研究了一个最近提出的 Clifford+T 门的扩展，称为 Clifford+D，并证明这些门确实生成了 PU(3) 的一个完全 S-算术子群，并且满足比 PU(2) 中 Clifford+T 稍弱的近乎最优覆盖性质。证明方法与 PU(2) 不同：虽然两个门集都自然地作用于一个（Bruhat-Tits）树，但在 PU(2) 中，生成的群在树的顶点上传递作用，这是证明算术性和效率的主要因素。在 PU(3) Clifford+D 的情况下，树上的作用远非传递。这使得算术性的证明相当困难，并且通过自守表示理论对效率的研究变得更加复杂，导致覆盖速率与最优速率相差一个因子 $log_3(105)\approx 4.236$。