多量子三能级 Clifford-分圆电路的精确合成

已知能被 Toffoli+Hadamard、Clifford+$T$ 或更一般地 Clifford-分圆门集上的多量子比特电路精确表示的矩阵，恰好是元素属于环 $\mathbb{Z}[1/2,\zeta_k]$ 的酉矩阵，其中 $k$ 为取决于门集的正整数，$\zeta_k$ 为本原 $2^k$ 次单位根。在本文中，我们为量子三能级建立了类似的对应关系。我们通过用 Hadamard 门 $H$ 和 $T_k$ 门 $T_k=\mathrm{diag}(1,\omega_k, \omega_k^2)$ 扩展经典量子三能级门 $X$、$CX$ 和 $CCX$，定义了 $3^k$ 次多量子三能级 Clifford-分圆门集，其中 $\omega_k$ 为本原 $3^k$ 次单位根。当 $k=1$ 时，该门集等价于量子三能级 Toffoli+Hadamard 门集；当 $k>1$ 时，等价于量子三能级 Clifford+$T_k$ 门集。然后我们证明，一个 $3^n\times 3^n$ 酉矩阵 $U$ 能被 $3^k$ 次 Clifford-分圆门集上的 $n$ 量子三能级电路表示，当且仅当 $U$ 的元素属于环 $\mathbb{Z}[1/3,\omega_k]$。