单 qutrit 电路的合成与算术

本文研究由 Clifford$+D$ 分圆门集上的字构成的单 qutrit 电路，其中 $D=\text{diag}(\pm\xi^{a},\pm\xi^{b},\pm\xi^{c})$，$\xi$ 为本原 $9$ 次单位根，$a,b,c$ 为整数。我们基于通过适当 Clifford$+D$ 门作用能否降低其关于 $\chi := 1 - \xi$ 的最小分母指数（sde），来刻画具有 $\mathbb{Z}[\xi, \frac{1}{\chi}]$ 中元素的 qutrit 单位向量 $z$ 的类别。为此我们研究 $\mathbb{Z}[\xi]$ 中任意元素的“模 $3$ 导数”概念，并借此研究 $HDz$ 的最小分母指数，其中 $H$ 为 qutrit Hadamard 门，$D$ 同理。此外，我们将寻找给定 sde 的所有单位向量的问题归约为寻找带附加约束的正定二次型的整数解。由此我们证明，Clifford$+D$ 门自然作为群 $U(3,\mathbb{Z}[\xi, \frac{1}{\chi}])$（元素在 $\mathbb{Z}[\xi, \frac{1}{\chi}]$ 中的 $3 \times 3$ 酉矩阵）中 sde 为 $0$ 和 $3$ 的门而出现。我们阐明了这些方法的一般适用性，以获得 Clifford$+R$ 的精确合成算法，并恢复文献 [kmm] 中先前的精确合成算法。为表述 Clifford$+D$ 的 qutrit 门合成所开发的框架可推广到任意素数幂维 qudit。