3-qubit Toffoli-Hadamard 电路的完备等式理论

我们给出一种关于 3-qubit 量子电路的 sound and complete equational theory，具体指以 Toffoli-Hadamard 门组 { X, CX, CCX, H } 为基础。即，我们引入一组关于三量子比特 Toffoli-Hadamard 电路的 true equations，这组 equations 在逻辑上足以推导出该领域内任何 true equation。为获得此等式理论，我们首先考虑以 Toffoli-K 门组 { X, CX, CCX, K } 的电路，其中 K = HxH。Toffoli-Hadamard 与 Toffoli-K 门组在三量子比特上看似相似，但在此情形下具有根本性差异：前者生成无限群，而后者生成著名 E8 格子自同构群的有限群。我们利用这一事实及格子自同构群理论，获得了 Toffoli-K 电路的 sound and complete 等式集合。随后，我们借助 Li 等人关于 Toffoli-Hadamard 算子的 prior work，将此等式理论扩展至 Toffoli-Hadamard 电路。