Clifford 量子元胞自动机：二维平凡群与三维 Witt 群

我们研究 $D$ 维素数 $p$ 维 qudit（QCA）均匀格点上算符代数的保局域自同构，专指平移不变（TI）且将每个素数 $p$ 维 Pauli 矩阵映射为 Pauli 矩阵张量积（Clifford）的情形。我们将 Laurent 多项式环上行列式为单位的反厄米形式关联到具有格点边界的 TI Clifford QCA，并证明该形式在 Clifford 线路和移位（平凡）意义下确定 QCA。由此推得每个二维 TI Clifford QCA 都是平凡的，因为此情形下的反厄米形式总是平凡的。进一步，我们证明对任意 $D$，任意 TI Clifford QCA 的四次幂是平凡的。我们给出 $D=3$ 及任意奇素数 $p$ 的非平凡 TI Clifford QCA 显式例子，并证明有限域 $\mathbb F_p$ 的 Witt 群是所有平凡意义下 TI Clifford QCA 群 $\mathfrak C(D = 3, p)$ 的子群。即 $\mathfrak C(D = 3, p \equiv 1 \mod 4) \supseteq \mathbb Z_2 \times \mathbb Z_2$ 且 $\mathfrak C(D = 3, p \equiv 3 \mod 4) \supseteq \mathbb Z_4$。这些例子通过解纠缠一个对易 Pauli 哈密顿量的基态得到，该哈密顿量由耦合素数维环面码层构造，使得暴露表面具有无法由严格二维对易 Pauli 哈密顿量实现的反常拓扑序。在独立于论文主体的附录中，我们重访 Freedman 和 Hastings 近期的一个定理：任意二维 QCA（未必是 Clifford 或平移不变）都是一个常数深度量子线路后接一个移位。我们给出了不借助任何辅助位（ancilla）的更直接的证明。