无 Hadamard 电路揭示 Clifford 群的结构

Clifford 群在量子随机基准测试、量子层析和纠错协议中起着核心作用。在此我们研究该群的结构性质。我们证明任意 Clifford 算子可唯一地写成规范形式 $F_1HSF_2$，其中 $H$ 是一层 Hadamard 门，$S$ 是量子比特的置换，$F_i$ 是从 Clifford 群的适当子群中选取的参数化无 Hadamard 电路。我们的规范形式在 Clifford 算子与分层量子电路之间提供了一一对应。我们报告了一个计算该规范形式的多项式时间算法。我们利用此规范形式在 $O(n^2)$ 运行时间内生成均匀随机分布的 $n$ 量子比特 Clifford 算子。该算法消耗的随机比特数与信息论下界相符。我们强调了随机均匀 Clifford 算子与对称群上的 Mallows 分布之间的惊人联系。还讨论了规范形式的变体：一种具有较短无 Hadamard 部分，另一种允许在线性最近邻架构中以电路深度 $9n$ 实现任意 Clifford 酉。最后，我们研究了计算量子优势，其中经典可逆线性电路可使用 Clifford 门更高效实现，并给出了发生此种优势的一个显式例子。