Clifford 量子计算机与 Mathieu 群

从 Gottesman-Knill 定理可知，量子计算的 Clifford 模型\cite{Clark07} 可由少数几个量子门（Hadamard 门、Phase 门和 Controlled-Z 门）生成，并能在经典计算机上高效模拟。我们利用群论软件包 GAP\cite{GAP} 模拟双量子比特 Clifford 群 $\mathcal{C}_2$。我们此前已发现，对称群 S(6)（即广义四边形 W(2) 的自同构群）控制着双量子比特 Pauli 图的几何结构\cite{Pauligraphs}。现在我们发现，{\it 内} 群 ${Inn}(\mathcal{C}_2)=\mathcal{C}_2/{Center}(\mathcal{C}_2)$ 恰好包含两个正规子群：一个同构于 $\mathcal{Z}_2^{\times 4}$（阶为 16），另一个同构于交错群 A(6) 的母群 $A'(6)$（阶为 5760）。群 $A'(6)$ 稳定了附着于 Mathieu 群 M(22) 的 Steiner 系 $S(3,6,22)$ 中的一个 {\it hexad}。群 A(6) 和 $A'(6)$ 均拥有一个 {\it 外} 自同构群 $\mathcal{Z}_2\times \mathcal{Z}_2$，我们将这一特征与双量子比特量子纠缠联系起来。