幺正动力学的拓扑相：Clifford 范畴中的分类

量子元胞自动机（QCA）或因果幺正按定义是局域算子代数的自同构，通过它将局域算子映射为局域算子。小深度量子电路、短时局域哈密顿演化以及平移（移位）都是例子。Clifford QCA 是指将任意 Pauli 算子映射为 Pauli 算子的有限张量积的那种。在此，我们得到了任意空间维数 $\mathsf d \ge 0$ 中，模 Clifford 量子电路与平移（电路与平移仅允许较粗的平移不变性）的平移不变 Clifford QCA 的群 $\mathfrak C(\mathsf d,p)$ 的完整表，其中底物为素数 $p$ 维 qudit，。群 $\mathfrak C(\mathsf d,p)$ 仅当 $p=2$ 时 $\mathsf d = 2k+3$ 以及 $p$ 为奇数时 $\mathsf d = 4k+3$ 非零，其中 $k \ge 0$ 为任意整数，此时 $\mathfrak C(\mathsf d,p) \cong \widetilde{\mathfrak W}(\mathbb F_p)$，即有限域 $\mathbb F_p$ 上非奇异二次型的经典 Witt 群。众所周知 $\widetilde{\mathfrak W}(\mathbb F_2) \cong \mathbb Z/2\mathbb Z$，$\widetilde{\mathfrak W}(\mathbb F_p) \cong \mathbb Z/4\mathbb Z$（若 $p = 3 \bmod 4$），以及 $\widetilde{\mathfrak W}(\mathbb F_p)\cong \mathbb Z/2\mathbb Z \oplus \mathbb Z/2\mathbb Z$（若 $p = 1 \bmod 4$）。该分类通过维数递降实现，即拓扑学手术理论中代数 $L$-群的 Laurent 扩张定理的化简。