高维中的非平凡量子元胞自动机

我们构造了一个三维量子元胞自动机（QCA），即 qubit 晶格上局域算符代数的自同构，它解开了 Walker-Wang 三费米子模型的基态纠缠。我们表明，若该 QCA 可由常深度量子电路实现，则存在一个二维对易投影子哈密顿量实现三费米子拓扑序，而人们普遍认为这是不可能的。我们依据此信念猜想该 QCA 并非常深度量子电路，并提供两条进一步证据支持该猜想。我们表明该 QCA 将每个局域 Pauli 算符映射为局域 Pauli 算符，但不是常深度 Clifford 电路。进一步，我们表明若三维 QCA 可由常深度量子电路实现，则存在一个作用于费米子自由度的二维 QCA 无法由常深度量子电路实现；即我们证明了在三维或二维中存在非平凡 QCA。我们三维 QCA 的平方可由常深度量子电路实现，这暗示了高维 QCA 存在一种 $\mathbb{Z}_2$ 不变量，完全不同于一维中按正有理数（即每个素数一个整数指标）的分类。在附录中，与本文主体无关，我们给出了 Bravyi 与 Vyalyi 关于2-局域对易哈密顿量基态结果的一个费米子推广。