量子元胞自动机：群、空间与谱

在任意交换环 $R$ 上，我们发展了量子元胞自动机理论。然后，我们利用代数 K-理论为给定度量空间 $X$ 上的量子元胞自动机构造了一个空间 $\mathbf{Q}(X)$。在大多数感兴趣的情形中，$\pi_0 \mathbf{Q}(X)$ 对量子元胞自动机在量子电路和稳定化意义下进行分类。值得注意的是，这些 QCA 空间通过同伦等价 $\mathbf{Q}(*) \simeq \Omega^n \mathbf{Q}(\mathbb{Z}^n)$ 相关联（对所有 $n$ 成立），这表明欧几里得晶格上 QCA 的分类由一个以维数 $n$ 为指标的 $\Omega$-谱给出。作为推论，我们还得到了 Azumaya $R$-代数的 K-理论的一个非连通脱环化，这可能具有独立的意义。我们还包含了一节内容，导出了在具有酉电路的 $C^*$-代数上 QCA 的 $\Omega$-谱。