Clifford 层级中的受控跃迁

我们发展了一种简单且系统化的途径，通过相干控制 Clifford 操作来实现量子位的更高层级。我们的做法基于 Pauli 周期性，即对于 Clifford 单位算符 $U$，定义为最小整数 $m\ge 1$，使得 $U^{2^{m}}$ 相对于相位是 Pauli 算符。我们证明了明确的受控跃迁规则，表明受控门 $CU$ 严格位于层级 $m+2$，等价地说明 $CU$ 位于层级 $k$ 当且仅当 $U^{2^{k-2}}$ 为 Pauli 且不存在更小的正幂的 $U$ 为 Pauli。我们进一步通过证明 Pauli 周期性作为函数的严密上界来量化实现大层级跃迁所需的资源，这表明通过受控 Clifford 访问高层级需要的目标量子位数随所需层级呈指数增长。我们通过显式构造的无穷序列 Pauli 周期性 Clifford，其受控版本实现了渐近最优跃迁。作为应用，我们提出了一种用于准备逻辑催化剂态的协议，使其可通过单一跃迁 Clifford 的相位 kickback 实现逻辑 $Z^{1/2^k}$ 相位门。