量子晶体对称性的统一理论

对称群在量子力学中以射影表示的形式出现，而晶体对称性在凝聚态物理中是基本的。在此，我们从两个互补的方面系统地提出量子力学空间群的统一理论。首先，我们给出空间群因子系统的一种分解形式来刻画所有量子空间群。它由三个因子组成：平移子群 $L$ 的因子系统、点群 $P$ 的非均匀因子系统，以及连接 $L$ 与 $P$ 的因子。这三个因子满足三个一致性方程，这些方程可精确求解并能完全穷尽空间群的所有因子系统。其次，由于因子系统由二阶上同调群分类，我们证明空间群的（上）同调群可由 Borel 的等变（上）同调理论导出，从而得到一种能计算所有空间群（上）同调群的算法。为展示该一般理论，我们明确给出了具有 $\mathbb{Z}_2$ 规范群的量子墙纸群。此外，作为一个初步应用，我们发现具有反演对称性的时间反演不变量子空间群可导出一种新颖的 Clifford 能带理论，其中每条能带四重简并以表示某些在布里渊区上具有拓扑非平凡 pinor 结构的实 Clifford 代数。我们的工作为探索量子力学空间群奠定了基础，并可在自旋液体、非常规超导体以及人工晶格系统（包括冷原子、光子与声子晶体，甚至 LC 电路网络）中找到应用。