k-out 超立方体的连通性

本文研究由 $k$-out 模型生成的 $n$-立方体随机子图的连通性性质，记为 $Q^n(k)$。设 $k$ 为整数，$1\leq k \leq n-1$。令 $Q^n(k)$ 为如下生成的图：对每个 $v\in V(Q^n)$，独立地从与 $v$ 关联的所有 $\binom{n}{k}$ 个不同边集中均匀选取包含 $k$ 条不同边的集合。我们研究 $k$ 变化时 $Q^n(k)$ 的连通性性质。我们证明，w.h.p. $Q^n(1)$ 不包含巨型连通分支，即不包含覆盖 $\Omega(2^n)$ 个顶点的连通分支。随后我们证明当 $k=2$ 时这样的连通分支出现。此外，该巨型连通分支覆盖了除 $o(2^n)$ 外的所有顶点，因此它是唯一的。然后我们确定了连通性阈值位于 $k_0= \log_2 n -2\log_2\log_2 n$。该阈值是尖锐的，即 w.h.p. $Q^n(\lfloor k_0\rfloor )$ 是不连通的，而 $Q^n(\lceil k_0\rceil+1)$ 是连通的。进一步地，我们证明 w.h.p. 对所有 $k\geq \lceil k_0\rceil+1$，$Q^n(k)$ 是 $k$-连通的。