一维几何随机图中连通性与无孤立节点之间的奇特间隙

一维几何随机图是通过将$n$个节点均匀且独立地分布在单位区间上，然后在任何距离至多为$r_n$的两个节点之间分配无向边而构建的。这些图受到了广泛关注，并被用于包括无线网络在内的各种应用中。文献中已知连通性的$r_n$阈值为$r_n^{*} = \frac{\ln n}{n}$。在本文中，我们证明了无孤立节点的$r_n$阈值为$\frac{\ln n}{2 n}$（即阈值$r_n^{*}$的一半）。我们的结果表明，在一维几何随机图中，连通性阈值与无孤立节点阈值之间存在一个奇特的间隙；特别是，当$r_n$等于$\frac{c\ln n}{ n}$且常数$c \in( \frac{1}{2}, 1)$时，一维几何随机图没有孤立节点但不连通。一维几何随机图中的这一奇特间隙与许多其他随机图中普遍存在的现象形成鲜明对比，例如二维几何随机图、Erd\H{o}s-R\'enyi 图和随机交集图，这些图在渐近意义上一旦没有孤立节点就会变得连通。