随机连接模型下随机网络的渐近连通性

考虑一个网络，其中所有节点按照已知密度$\rho$的泊松分布分布在一个单位正方形上，且一对欧氏距离为$x$的节点以概率$g(\frac{x}{r_{\rho}})$直接相连，其中$g:[0,\infty)\rightarrow[0,1]$满足三个条件：旋转不变性、非递增单调性和积分有界性，$r_{\rho}=\sqrt{\frac{\log\rho+b}{C\rho}}$，$C=\int_{\Re^{2}}g(\Vert \boldsymbol{x}\Vert)d\boldsymbol{x}$，$b$是一个常数，且该事件与另一对节点是否直接相连独立。本文利用Chen-Stein技术分析了上述网络中孤立节点数的渐近分布，以及当$\rho\rightarrow\infty$时边界效应对孤立节点数的影响。在此基础上，我们推导了上述网络渐近几乎必然连通的一个必要条件。这些结果是将随机几何图连通性的近期研究成果从常用的单位圆盘模型扩展到更通用、更实用的随机连接模型的重要环节。