随机几何社交网络连通性的渐近自适应阈值

考虑一个动态随机几何社交网络,由单位正方形 $[0,1]^2$ 中 $s_t$ 个独立点 $x_t^1,\ldots,x_t^{s_t}$ 标识,这些点在连续时间 $t\geq 0$ 中相互作用。随机点的生成模型为 Poisson 点测度。每个点 $x_t^i$ 以 Bernoulli 概率 $p$ 在网络中活跃或不活跃。任意一对点 $i\neq j$ 若其点间距离 $\|x_t^i-x_t^j\|\leq a_\mathsf{f}^\star$ 则通过阶跃连接函数因亲和性相连。我们证明当 $a_\mathsf{f}^\star=\sqrt{\frac{(s_t)^{l-1}}{p\pi}}$ 且 $l\in(0,1)$ 时,孤立点的数量在 $s_t\to\infty$ 时由 Poisson 近似所支配。这为从数据自适应地构建用于网络动态聚类的 $a_\mathsf{f}^\star$-邻域过程提供了一个自然阈值。