大规模网络的连通性：唯一无界分量的涌现

本文研究这样的网络：所有节点按照已知密度 $\rho$ 的泊松分布分布在单位正方形 $A\triangleq[(-1/2,1/2)^{2}$ 上，并且一对欧氏距离为 $x$ 的节点以概率 $g(\frac{x}{r_{\rho}})$ 直接相连，该事件独立于任何其他节点对是否直接相连的事件。这里 $g:[0,\infty)\rightarrow[0,1]$ 满足旋转不变性、非增单调性、积分有界性以及 $g(x)=o(\frac{1}{x^{2}\log^{2}x})$ 的条件；此外，$r_{\rho}=\sqrt{\frac{\log\rho+b}{C\rho}}$，其中 $C=\int_{\Re^{2}}g(\Vert \boldsymbol{x}\Vert)d\boldsymbol{x}$，$b$ 是一个常数。将上述网络记为 $\mathcal{G}(\mathcal{X}_{\rho},g_{r_{\rho}},A)$。我们证明，当 $\rho\rightarrow\infty$ 时，渐近几乎必然地：a) $\mathcal{G}(\mathcal{X}_{\rho},g_{r_{\rho}},A)$ 中不存在固定且有限阶 $k>1$ 的分量；b) 具有无界阶的分量数量为一。因此，当 $\rho\rightarrow\infty$ 时，该网络渐近几乎必然地只包含一个唯一的无界分量和孤立节点；$\mathcal{G}(\mathcal{X}_{\rho},g_{r_{\rho}},A)$ 渐近几乎必然连通的充分条件是网络中不存在孤立节点。这些结果，连同关于 $\mathcal{G}(\mathcal{X}_{\rho},g_{r_{\rho}},A)$ 中孤立节点渐近分布的姊妹篇论文中的结果，其贡献在于将最近关于随机几何图连通性的结果从单位圆盘模型推广到更通用且更实用的随机连接模型。