k近邻图中的小分支

设$G=G_{n,k}$表示通过将点按密度为1的泊松过程放置在面积为$n$的正方形中，并将每个点与其$k$个最近邻点连接而形成的图。Balister、Bollobás、Sarkar和Walters证明，如果$k<0.3043\log n$，则$G$连通的概率趋于0，而如果$k>0.5139\log n$，则$G$连通的概率趋于1。我们证明，在连通性阈值附近，正方形边界附近的所有顶点都是（唯一）巨分支的一部分。这表明关于$G$连通性的论证不需要考虑“边界”效应。我们还改进了$G$连通性阈值的上界，将其降至$k=0.4125\log n$。