连通性阈值和最大最近邻链接的波动

考虑在欧几里得$d$维空间($d \geq 2$)中一个具有光滑或(当$d=2$时)多边形边界的紧致区域$A$内$n$个点的随机均匀样本。固定$k \in {\bf N}$。令$T_{n,k}$为使得这些$n$个顶点上距离参数为$r$的几何图成为$k$连通的阈值$r$。我们证明，如果$d=2$，则$n (\pi/|A|) T_{n,1}^2 - \log n$渐近服从标准Gumbel分布。对于$(d,k) \neq (2,1)$，是$n (\theta_d/|A|) T_{n,k}^d - (2-2/d) \log n - (4-2k-2/d) \log \log n$依分布收敛到一个非退化极限，其中$\theta_d$是单位球的体积。极限是尺度参数为2的Gumbel分布，除非当$(d,k)=(2,2)$时，极限是双分量极值分布。不同的情形反映了边界效应在某些情况下比其他情况更重要的这一事实。我们还给出了样本中最大$k$最近邻链接$U_{n,k}$的类似结果，并证明$T_{n,k}=U_{n,k}$以高概率成立。我们提供了收敛速度的估计，并给出了$A$中Poisson样本的类似结果。最后，即使对于非均匀样本，我们也给出了类似的结果，但具有不太明确的中心化常数序列。