多胞形随机样本中的最大最近邻连线与连通阈值

设 $X_1,X_2, \ldots$ 为凸多胞形域 $A \subset \mathbb{R}^d$ 中独立同分布的随机点。定义最大最近邻连线 $L_n$ 为最小的 $r$，使得 $\mathcal X_n:=\{X_1,\ldots,X_n\}$ 中每个点都在距离 $r$ 内有另一个这样的点。我们在大 $n$ 极限下获得了 $L_n$ 的强定律。一个相关阈值，即连通阈值 $M_n$，是使得随机几何图 $G(\mathcal X_n, r)$ 连通的最小 $r$。我们证明当 $n \to \infty$ 时，几乎必然地 $nL_n^d/\log n$ 趋于一个依赖于 $A$ 几何的极限，且 $nM_n^d/\log n$ 趋于同一极限。