$k$-最近邻图的严格无向模型

设 $G=G_{n,k}$ 表示如下构成的图：根据密度为 1 的泊松过程在面积为 $n$ 的正方形内放置点，并连接每一对互为 $k$ 最近邻的点。$G_{n,k}$ 可用作无线网络的模型，相较于 Balister、Bollob\'{a}s、Sarkar 和 Walters 研究的前两种 $k$-最近邻模型，它在应用方面具有一些优势，这两位作者证明了这两种模型的连通性阈值的良好界限。然而，他们的证明无法直接扩展到这一新模型，因为现在 $G$ 的不同分量中的边可能会交叉。我们通过证明在连通性阈值附近边以高概率不会交叉来克服这些问题，进而证明如果 $k>0.9684\log n$，则 $G$ 以高概率是连通的，这也改进了 Balister、Bollob\'{a}s、Sarkar 和 Walters 所研究的其中一种模型的界限。