随机k-out年龄偏置图的连通性、电导与自举渗流

均匀连接图（参数为 $k$），文中记为 $G_{n,k}$，是顶点集 $[n]$ 上的随机图，其中每个顶点 $v$ 从 $[v-1]$ 中均匀且独立地选择 $k$ 次，这些选择决定了边集。我们研究该图的若干方面。我们的动机来自两个结构相似且被广泛研究的随机图：$k$-out 图与优先连接图。本文中，我们求得其最小度与连通性的渐近分布，并研究 $G_{n,k}$ 的扩张性质，证明 $G_{n,k}$ 的电导为 $(\log n)^{-1}$ 阶。我们还研究 $G_{n,k}$ 上的自举渗流，其中每个顶点要么以概率 $p$ 独立地初始感染，要么后来因某时刻拥有 $r$ 个感染邻居而感染。我们证明，对于 $2\le r\le k-1$，若 $p\ll (\log n)^{-r/(r-1)}$，则以趋于1的概率该过程在所有顶点被感染前结束。另一方面，若 $p\ge \omega(\log n)^{-r/(r-1)}$，其中 $\omega$ 为某个增长极慢的函数，则以趋于1的概率所有顶点被感染。