图的乘积中的 Bootstrap 瘫痪与 $P_3$-Hull 数

$r$ 邻居 bootstrap 瘫痪是一种基于图形感染过程的更新规则，即具有 $r$ 个感染邻居的顶点将被感染。我们称具有初始感染顶点集合可传播若干顶点意味着该图中所有顶点最终都被感染，其最小基数称为该图的 $r$ bootstrap 瘫痪数，记为 $m(G,r)$。本文研究图的乘积中的瘫痪集。虽然一般图中 $m(G\times H,r)$ 没有非平凡上界，但我们在 $\delta(G)\ge r$ 的假设下证明了若干上界。我们还特征化了具有最小度为 2 的连通图 $G$ 和 $H$ 使得 $m(G \times H, 2) = \frac{|V(G \times H)|}{2}$ 的条件。此外，我们确定 $m(P_n \times P_m, 2)$ 的确切值，即当 $m$ 和 $n$ 的奇偶性不同时为 $m+n-1，$当两者同为奇数或同为偶数时为 $m+n$。