图的强乘积中的自助渗流

给定图 $G$ 并假设 $G$ 的某些顶点被感染,$r$-邻域自助渗流规则使未感染顶点 $v$ 在被感染邻居至少 $r$ 个时变为感染。图 $G$ 的 $r$-渗流数 $m(G,r)$ 是 $G$ 中初始感染顶点集合的最小基数,使得持续执行 $r$-邻域自助渗流规则后 $G$ 的每个顶点最终都被感染。本文考虑图的强乘积的渗流数。若 $G$ 是 $k$ 个连通图 $G_1\boxtimes \cdots \boxtimes G_k$ 的强乘积,我们证明只要 $r\le 2^{k-1}$ 且 $|V(G)|\ge r$ 就有 $m(G,r)=r$。作为二分情形,我们给出一类 $k$ 个连通图的强乘积,其 $(2^{k-1}+1)$-渗流数可任意大。我们对至少两个因子具有至少三个顶点的图的强乘积细化了这些结果。此外,当所有因子 $G_i$ 均至少有三个顶点时,我们证明对所有 $r\leq 2^k-1$ 有 $m(G_1 \boxtimes \dots \boxtimes G_k,r)\leq 3^{k-1} -k$,并再次得到二分情形,因为存在 $k$ 个图的强乘积族其 $2^{k}$-渗流数可任意大。虽然当 $G$ 与 $H$ 均至少有三个顶点时 $m(G\boxtimes H,3)=3$,我们也刻画了满足该等式的强棱柱 $G\boxtimes K_2$。部分结果自然推广至无限图,我们简要考虑了双向无限路径的强乘积的渗流数。