非均匀随机 K-out 图中巨分支的存在性与规模

随机 K-out 图作为一种在分布式系统（包括传感器网络、联邦学习和加密货币网络）中构建稀疏但连通性良好的拓扑的模型正受到关注。针对新兴现实世界网络中日益增长的异质性（节点在资源和需求上各不相同），最近提出了非均匀随机 K-out 图，记为 $H(n;\mu,K_n)$。受建立链路代价高昂且仅有有界选择 $K_n$ 可行（$K_n = O(1)$）的实际场景驱动，我们研究 $H(n;\mu,K_n)$ 最大连通子网络的规模。我们首先证明，对所有 $n$ 均有 $K_n \geq 2$ 这一平凡条件足以保证 $H(n;\mu,K_n)$ 以高概率（whp）包含一个规模为 $n-O(1)$ 的巨分支。接下来，为建模节点可能发生故障或遭攻陷的场景，我们考察从 $H(n;\mu,K_n)$ 中均匀随机选取并移除 $d_n$ 个节点后，其最大连通子网络的规模。我们证明若 $d_n=O(1)$，则对所有 $K_n \geq 2$，以高概率仍存在一个规模为 $n- \OO(1)$ 的巨分支。进一步，当从 $H(n;\mu,K_n)$ 中移除 $d_n=o(n)$ 个节点时，剩余节点以高概率包含规模为 $n(1-o(1))$ 的巨分支（对所有 $K_n \geq 2$）。我们给出数值结果以展示在节点数有限时最大连通分支的规模。