$\ell_p^n$ 球超平面投影上的方差猜想

我们证明，对于任意 $1\leq p\leq\infty$，均匀分布在 $\ell_p^n$ 单位球超平面投影上的随机向量族满足方差猜想 $$\textrm{Var}\,|X|^2\leq C\max_{\xi\in S^{n-1}}\mathbb{E}\langle X,\xi\rangle^2\mathbb{E}|X|^2,$$ 其中 $C$ 依赖于 $p$，但不依赖于维度 $n$ 或超平面。我们还将证明一个一般性结果，将均匀分布在各向同性凸体上的随机向量的方差猜想，与均匀分布在其任意 Steiner 对称化上的随机向量的方差猜想联系起来。作为推论，我们将得出，均匀分布在 $\ell_p^n$ 球的任意 Steiner 对称化上的随机向量族满足方差猜想。