凸性条件下随机向量每坐标熵的高度约束性

对于任意维度的对数凹随机向量，给定其众数处的密度后，其每坐标熵的取值范围被证明仅为1。凸体上的均匀分布位于该范围的下端，坐标独立同分布指数分布的随机向量位于上端，而正态分布恰好位于中间。因此，以每坐标熵衡量的随机性大小而言，任意维度的任何对数凹随机向量所包含的随机性与具有相同最大密度值的正态随机变量相比，差异至多为1/2。作为应用，我们得到了凸几何中著名超平面猜想的信息论表述、某些无穷可分分布的熵界，以及卷积后众数处密度行为的定量估计。更一般地，可以考虑欧几里得空间上的所谓凸概率测度或双曲概率测度；我们给出了这类测度下每坐标熵的新约束，这些约束推广了我们在对数凹假设下的结果，揭示了多元帕累托型分布的极值作用，并给出了一些应用。