关于 $\mathbb{Z}^d$ 上对数凹随机向量离散熵的单调性

我们证明了 $\mathbb{Z}^d$ 上各向同性、对数凹、独立同分布随机向量 $X_1,\dots,X_{n+1}$ 之和的如下离散熵单调性类型：$$H(X_1+\cdots+X_{n+1}) \geq H(X_1+\cdots+X_{n}) + \frac{d}{2}\log{\Bigl(\frac{n+1}{n}\Bigr)} +o(1),$$ 其中当 $H(X_1) \to \infty$ 时 $o(1)$ 趋于零。此外，对于 $o(1)$ 项，我们获得了收敛速率 $O\Bigl({H(X_1)}{e^{-\frac{1}{d}H(X_1)}}\Bigr)$，其中隐含常数依赖于 $d$ 和 $n$。这将第二作者（2023 年）的一维结果推广到了 $\mathbb{Z}^d$。与一维情形类似，我们的策略是确立离散熵 $H(X_1+\cdots+X_{n})$ 接近微分（连续）熵 $h(X_1+U_1+\cdots+X_{n}+U_{n})$，其中 $U_1,\dots, U_n$ 是 $[0,1]^d$ 上独立同分布的均匀随机向量，并应用 Artstein、Ball、Barthe 和 Naor（2004 年）关于微分熵单调性的定理。事实上，我们在比对数凹性更一般的假设下证明了该结果，这些假设在卷积下保持至多相差常数。为了证明对数凹分布在维数 $d\ge2$ 时满足我们的假设，需要来自凸几何的更复杂工具，因为需要合适的位置。我们表明，对于处于各向同性位置的对数凹函数，其积分、重心和协方差矩阵接近其离散对应物。此外，在对数凹情形下，我们将各向同性假设减弱为我们所称的近似各向同性。我们的技术工具之一是对数凹函数各向同性常数上界的离散类比，这将 Bobkov、Marsiglietti 和 Melbourne（2022 年）的结果扩展到了 $d\ge1$ 维。