多项式反集中性：$L^{p}$ 球与对称测度

我们首先基于先前结果的观察表明，在对数凹测度下，对多项式方差的无维度下界可产生无维度的小-ball 与 Fourier 衰减估计。受此启发，我们在经典产品测度之外的对数凹随机向量上的多项式方差进行界定。首先，我们考察 $n$ 维各向同性 $L^{p}$ 球上的均匀测度族。我们证明，对次数为 $d$ 的齐次多项式 $f=\sum_{I}a_{I}x^{I}$，其中 $\sum_{I}a_{I}^{2}=1$，其方差无维度下界唯一受阻碍因素出现在 $p=d$ 为偶整数且系数 $f$ 接近 $\frac{1}{\sqrt{n}}\left\Vert x\right\Vert _{p}^{p}$ 的情况下。其次，我们考察那些在坐标置换与反射下保持不变的一般各向同性对数凹测度，确定二次与三次多项式的最小方差。这些方差界限导致在两个设置中获得新的无维度反集中性结果，回应了 Carbery 与 Wright 提出的自然问题的延伸。