高斯空间中Brunn--Minkowski 不等式的熵与函数形式

给定偶数强对数凸随机向量 $X_{0}$ 与 $X_{1}$ 在 $\mathbb{R}^n$ 中的分布，我们证明自然的联合分布 $(X_{0},X_{1})$ 满足不等式\n\n\begin{equation} e^{ - \frac{1}{n}D ((1-t)X_{0} + t X_{1} \Vert Z)} \geq (1-t) e^{ - \frac{1}{n}D (X_{0} \Vert Z)} + t e^{ - \frac{1}{n}D ( X_{1} \Vert Z)}, \end{equation}\n\n其中 $Z$ 按据标准高斯测度 $\gamma$ 分布于 $\mathbb{R}^n$，$t \in [0,1]$，且 $D(\cdot \Vert Z)$ 为高斯相对熵。该结果扩展并以不同视角概述了Eskenazis 与 Moschidis 证明的相应几何不等式，即\n\n\begin{equation} \gamma \left( (1-t) K_{0} + t K_{1} \right)^{\frac{1}{n}} \geq (1-t) \gamma (K_{0})^{\frac{1}{n}} + t \gamma (K_{1})^{\frac{1}{n}}, \end{equation}\n\n当 $K_{0}, K_{1} \subseteq \mathbb{R}^n$ 为原点对称凸体时成立。作为应用，我们利用Donnsker--Varadhan 二元性，获得适用于偶数对数凸函数的高斯Borell--Brascamp--Lieb 不等式，作为Eskenazis--Moschidis 不等式的函数形式。