关于凸集关于概率测度的最大周长的一些注记

在本注记中，我们研究了 $\mathbb{R}^n$ 中凸集关于各类测度的最大周长。首先，我们证明对于 $\mathbb{R}^n$ 上满足非常温和假设的概率测度 $\mu$，存在一个凸集其 $\mu$-周长至少为 $C\frac{\sqrt{n}}{\sqrt[4]{Var|X|} \sqrt{\mathbb{E}|X|}}$。特别地，这蕴含对于任意各向同性对数凹测度 $\mu$，可找到一个 $\mu$-周长阶为 $n^{\frac{1}{8}}$ 的凸集。其次，我们对任意处于适当位置、密度为 $f$ 的对数凹测度，导出了凸集最大周长的一般上界 $Cn|| f||^{\frac{1}{n}}_{\infty}$。我们的下界在一类包含标准正态分布的分布上达到。我们的上界，例如，在单位立方体上的均匀测度上达到。此外，对于各向同性对数凹测度，我们证明了凸集的最大 $\mu$-周长阶为 $n^2$ 的上界。