由测度生成集对凸体的逼近

给定 ${\mathbb R}^{n}$ 上的 Borel 测度 $\mu$，我们定义一个凸集为 $$M({\mu})=\bigcup_{\substack{0\le f\le1,\\ \int_{{\mathbb R}^{n}}f\,{\rm d}{\mu}=1 } }\left\{ \int_{{\mathbb R}^{n}}yf\left(y\right)\,{\rm d}{\mu}\left(y\right)\right\} ,$$ 其中并集取遍所有满足 $\int_{{\mathbb R}^{n}}f\,{\rm d}{\mu}=1$ 的 $\mu$-可测函数 $f:{\mathbb R}^{n}\to\left[0,1\right]$。我们研究了这些测度生成集的性质，并利用它们探讨用尽可能少顶点的多面体逼近一般凸体问题的自然变体。特别是，我们研究了由 Bezdek 和 Litvak 引入的顶点指数的推广。作为应用，我们为非退化概率测度的质心体的某些平均范数提供了下界。