中心凸体通过多边形逼近的近似难度

凸体 $K, L \subseteq \R^n$ 之间的距离定义为 $$d(K,L)= \inf \left\{ \lambda \ge 1: \ L-x \subseteq T (K-y) \subseteq \lambda (L-x) \right\},$$ 其中取值范围是所有 $x,y \in \R^n$ 以及所有线性可逆算子 $T: \R^n \to \R^n$。若两者均为中心对称体，则可选取 $x$ 和 $y$ 为 $0$。在这种情况下，任意中心对称凸体 $K$ 可由最多 $N \in (n, e^{cn})$ 个顶点的多边形 $P$ 进行逼近，使得 $$P \subseteq K \subseteq \lambda P$$ 其中 $\lambda= O \left(\sqrt{\frac{n}{\log N}} \right)$，忽略对数因子。我们证明，对一般中心凸体通过多边形逼近需要显著更多的顶点数，以致与对称情况相比。这正是说，存在一个中心为原点的凸体 $K$，使得满足 $$P \subseteq K \subseteq c \, \frac{n}{\log N} P$$ 的任意多边形 $P$ 至少需要 $N$ 个顶点，其中 $N \in (Cn^2, e^{cn})$。此外，我们证明了相同界限也适用于以多边形的 $N$ 个面数而非顶点数进行逼近的情形。