凸性关于周长的强稳定性

设 $E\subset \mathbb R^n$，$n\ge 2$，为有限周长集且 $|E|=|B|$，其中 $B$ 表示单位球。当 $n=2$ 时，由于凸化可降低周长（在开连通集类中），易证存在凸集 $F$，满足 $|E|=|F|$，使得 $$P(E) - P(F) \ge c\,|E\Delta F|, \qquad c>0.$$ 本文证明，当 $n\ge 3$ 时，存在凸集 $F$，满足 $|E|=|F|$，使得 $$P(E) - P(F) \ge c(n) \,f\big(|E\Delta F|\big), \qquad c(n)>0,\qquad f(t)=\frac{t}{|\log t|} \text{ for }t \ll 1.$$ 此外，可取 $F$ 为单位球的一个微小 $C^2$ 形变。进一步，该估计本质上是最优的，因为我们可以证明上述不等式在 $f(t)=t$ 时不成立。有趣的是，我们结果的证明依赖于关于常平均曲率集的 Alexandrov 定理的一个新的稳定性估计。