关于 $L_p$-曲率的稳定性

已知当 $1\neq p>-n$ 时，光滑严格凸体的 $L_p$-曲率仅为以原点为中心的球是常数，而当 $p=1$ 时仅为球是常数。若 $p=-n$，则 $L_{-n}$-曲率仅为原点对称椭球是常数。我们证明了这些结果的“局部”与“全局”稳定性版本。对 $p\geq 1$，我们证明了一个全局稳定性结果：若 $L_p$-曲率几乎为常数，则 $\tilde{K}$ 与单位球 $B$ 的一个平移的体积对称差几乎为零。此处 $\tilde{K}$ 是与单位球同体积的 $K$ 的膨胀。对 $0\leq p<1$，我们在原点对称体类中于 $L^2$-距离下证明了类似结果。此外，对 $-n<p<0$，我们证明了一个局部稳定性结果：单位球存在一个邻域，其中任何具有“几乎”常数 $L_p$-曲率的该邻域内的光滑严格凸体“几乎”是单位球。对 $p=-n$，我们在 $\mathbb{R}^2$ 中证明了全局稳定性结果，并对 $n>2$ 在 Banach-Mazur 距离下证明了局部稳定性结果。