具有动力学过冷项的拉普拉斯移动边界问题的对流稳定化

我们研究了二维外部拉普拉斯场中圆盘运动的形状稳定性。该问题源于流注型电击穿中电离前沿的运动。它在数学上等价于Hele-Shaw槽中小气泡的运动，并带有动力学过冷类型的正则化，即移动边界上拉普拉斯场的混合Dirichlet-Neumann边界条件。利用共形映射技术，均匀平移圆盘的线性稳定性分析被转化为一个单一的偏微分方程(PDE)，该方程对于正则化参数的某些特定值是可精确求解的。我们专注于物理上最有趣的可精确求解且非平凡的情形。我们证明了圆形解对光滑初始扰动是线性稳定的。在将PDE变换为其标准双曲形式时，单位圆盘的自同构半群起着核心作用。它介导了扰动向圆盘后部的对流，并在那里衰减。当时间$t\to\infty$时，沿唯一的慢流形发生对未扰动圆盘的指数收敛。光滑的时间本征函数无法构造，但排除圆盘远后部区域后，一个离散的本征函数集确实张成了扰动的函数空间。我们相信，对于正则化参数的某个特定值，观测到的对流稳定圆盘行为对其他形状和参数值具有普适性。我们的解析结果通过一些典型解的图形加以说明。