算子 $\Gamma_p\Pi_p^\ast$ 的固定点刚性及 LYZ 猜想

受 Milman、Shabelman 与 Yehudayoff 近期方法的启发，我们对 $p\geq 1$ 的情形，完整刻画了 $L_p$ 质心算子与极 $L_p$ 投影算子的组合的固定点。更准确地说，我们证明：若凸体 $K \in \mathcal{K}_o^n$ 满足 $$\Gamma_p \Pi_p^* K = cK$$ 其中 $c>0$ 为常数，则 $K$ 必须为椭球体。反之，椭球体是唯一在凸体（至 dilation）意义下的固定点。此结果确认了 Lutwak、Yang 与 Zhang 的猜想（$p\geq 1$）。我们的做法结合变分技术与对线性反射阴影系统的细致分析。我们引入一种几何框架，称为 $L_p$ 投影 Rolodex，用以表征极 $L_p$ 投影体的体积，以加权的下维截面体积表示。该表示导致沿线性反射阴影系统 $K_t$ 上体积 $\operatorname{Vol}_n(\Pi_p^*K_t)$ 的单调性，并引出刚性陈述：若首个变分消失，则沿变形保持恒定。这些结果联合已知的 Steiner 对称化等号条件刻画，即可得到固定点的分类。