带松弛的投影迭代方法不动点存在性的稳定性

我们考虑一个 $\alpha$-松弛投影 $P_A^\alpha:H\to H$，定义为 $P_A^\alpha(x)=\alpha P_A(x)+(1-\alpha)x$，其中 $\alpha\in[0,1]$ 且 $P_A$ 是到实 Hilbert 空间 $H$ 的非空、凸且闭子集 $A$ 上的投影。我们刻画了所有满足以下条件的集合 $F\subset[0,1]$：对于某些 $H$ 的非空、凸且闭子集 $A_1,A_2,\dots,A_k\subset H$，复合投影 $P_{A_k}^\alpha P_{A_{k-1}}^\alpha\dots P_{A_1}^\alpha$ 有不动点当且仅当 $\alpha\in F$。本文证明了，若 $\dim H\geq 3$ 且 $k\geq3$，则上述系数 $\alpha$ 的集合 $F$ 的类恰好是 $[0,1]$ 中包含 $0$ 的 $F_\sigma$ 子集的类。