U-max 统计量与随机多边形周长及面积的极限定理

近期 W. Lao 和 M. Mayer [6], [7], [9] 研究了 $U$-max 统计量，其中最大值取代了同一指标集上的求和。此类统计量常出现于随机几何中。实例包括球内随机点间的最大距离、随机多边形的最大直径、点样本内的最大标量积等。其极限分布与极值分布相关。文献 [6], [7], [9] 获得的有趣结果包括内接于圆周随机三角形的最大周长和最大面积的极限定理。在本文中，我们将这些定理推广至顶点在圆周上随机分布的凸 $m$-边形 ($m \geq 3$)。接下来，我们解决了外切 $m$-边形的最小周长和最小面积的类似问题，此前文献中尚未对此进行过探讨。最后，我们讨论了当 $m \to \infty$ 时所得到的结果。