赋范格之外的非有界范数拓扑

在本文中，我们推广了非有界范数收敛的概念：设 $X$ 为一个赋范格，$Y$ 为一个向量格，且 $X$ 是 $Y$ 中的一个稠密理想；如果对于每个 $x\in X_+$ 都有 $\Bigl\lVert\lvert y_\alpha-y\rvert \wedge x\Bigr\rVert\to 0$，我们就称网 $(y_\alpha)$ 在 $Y$ 中相对于 $X$ 非有界范数收敛于 $y$。我们将几个关于非有界范数收敛和非有界范数拓扑的已知结果推广到了这一新设定中。我们考虑了 $Y$ 是 $X$ 的泛完备时的特殊情形。如果 $Y=L_0(\mu)$，即所有 $\mu$-可测函数构成的空间，且 $X$ 是 $Y$ 中的一个序连续 Banach 函数空间，那么 $Y$ 上的非有界范数收敛与依测度收敛一致。如果 $X$ 是原子的且序完备，并且 $Y=\mathbb R^A$，那么 $Y$ 上的非有界范数收敛与逐坐标收敛一致。