无界序收敛及其在无概率鞅论中的应用

向量格 $X$ 中的网 $(x_\alpha)_{\alpha\in \Gamma}$ 若对每个 $y \in X_+$ 满足 $|x_\alpha-x| \wedge y \xrightarrow{o} 0$，则称其无界序收敛（uo-收敛）于 $x$；若网 $(x_\alpha-x_{\alpha'})_{\Gamma\times \Gamma}$ uo-收敛于 0，则称其为无界序 Cauchy 网（uo-Cauchy）。本文第一部分研究 Banach 格中的 uo-收敛网和 uo-Cauchy 网，并利用它们刻画具有正 Schur 性质的 Banach 格和 KB-空间。第二部分利用 uo-Cauchy 序列的概念，将 Doob 的次鞅收敛定理推广到无测度 setting。我们的结果特别表明，$L_1(\Omega;F)$ 中的每个范数有界次鞅在 $F$ 中几乎必然是 uo-Cauchy 的，其中 $F$ 是具有弱单位的序连续 Banach 格。