Banach 格中的无界范数拓扑

Banach 格 $X$ 中的网 $(x_\alpha)$ 被称为无界范数收敛(un-收敛)到向量 $x$，如果对任意 $u\in X_+$，有 $\bigl\lVert\lvert x_\alpha-x\rvert\wedge u\bigr\rVert\to 0$。本文研究无界范数拓扑(un-拓扑)，即对应于无界范数收敛的拓扑。我们证明无界范数拓扑与范数拓扑一致当且仅当 $X$ 具有强单位。无界范数拓扑可度量化当且仅当 $X$ 具有拟内部点。假设 $X$ 是序连续的，则无界范数拓扑局部凸当且仅当 $X$ 是原子的。序连续的 Banach 格 $X$ 是 KB-空间当且仅当其闭单位球 $B_X$ 是无界范数完备(un-完备)的。对于 Banach 格 $X$，$B_X$ 是无界范数紧(un-紧)的当且仅当 $X$ 是原子 KB-空间。我们还研究了无界范数紧算子以及无界范数收敛与弱*收敛之间的关系。