基于酉 t-设计的一种量子 Johnson-Lindenstrauss 引理

著名的 Johnson-Lindenstrauss 引理指出，对于任意 n 个向量的集合，存在一个到 O(log n) 维空间的线性变换，可近似保持它们的所有长度。事实上，以高概率而言，一个 Haar 随机酉变换后接投影到前 O(log n) 个坐标再接一个缩放，即可作为一个有效的变换。在本工作中，我们证明 Haar 随机酉变换可被从称为近似酉 t-设计（approximate unitary t-design）的有限集合中均匀随机选取的酉变换所替代，其中 t = O(log n)。从这样的设计中选取一个酉变换仅需 polylogarithmic 个随机比特，而从合理精度下选取 Haar 随机酉变换所需的随维度指数增长的随机比特形成对比。此外，由于此类酉变换可在叠加态设置中被高效实现，我们的结果可视为一种高效的量子 Johnson-Lindenstrauss 变换，类似于早期量子算法工作中广泛使用的高效量子 Fourier 变换。我们通过借助 Low 用于证明近似酉 t-设计集中性的方法来证明我们的结果。我们讨论了该结果的算法优势与局限，并以一个针对私有信息检索的示例应用作结。