单比特Johnson-Lindenstrauss引理中的相变

Johnson-Lindenstrauss引理(J-L Lemma)是降维技术的基石。我们在单比特背景下研究它,即考虑单位球面 $\mathbb S ^{N-1}$(带归一化测地距离),并将有限集 $\mathbf{X} \subset \mathbb{S}^{N-1}$ 映射到汉明立方体 $\mathbb{H}_m = \{0,1\}^m$(带归一化汉明距离)。我们发现,对于 $0< \delta <1$ 且 $m>\frac{\ln n}{2\delta^2}$,存在从 $\mathbf{X}$ 到 $\mathbb{H}_m$ 的 $\delta$-RIP。这令人惊讶,因为 $m$ 的值几乎与已知最优的线性J-L引理界相同。在线性与单比特两种情形下,映射均为随机构造。我们证明了 $B_m$ 为 $\delta$-RIP 的概率满足相变现象:仅需 $m$ 的微小变化,该概率便从接近于零跃升至接近于一。我们的证明依赖于伯努利随机变量的精细性质。