单比特感知、偏差与斯托拉尔斯基原理

从 $d$ 维球面 $\mathbb S ^{d}$ 到 $n$ 维汉明立方 $H^n= \{ -1, +1\} ^{n}$ 的一个符号线性单比特映射由 $$x \to \{ \mbox{sign} (x \cdot z_j) \;:\; 1\leq j \leq n\}$$ 给出，其中 $\{z_j\} \subset \mathbb S ^{d}$。对于 $0 < \delta < 1$，我们估计 $N (d, \delta )$，即存在具有 $\delta$-受限等距性质的符号线性映射的最小整数 $n$，其中我们在 $\mathbb S ^{d}$ 上施加归一化测地距离，在 $H^n$ 上施加汉明度量。至多相差一个多对数因子，$N (d, \delta ) \approx \delta^{-2 + \frac2{d+1}}$，这在 $\delta$ 的幂次上有一个维度修正。这是单比特感知文献中浮现的问题，其证明方法源于几何偏差理论。我们还获得了针对此情形的斯托拉尔斯基不变性原理的类似物，其意味着最小化嵌入误差的 $L^2$ 平均等价于最小化离散能量 $\sum_{i,j} \big( \frac12 - d(z_i,z_j) \big)^2$，其中 $d$ 为归一化测地距离。