面向有界动态范围信号的通用 1-bit 压缩感知

一种{\em 通用 1-bit 压缩感知 (CS)}方案由一个测量矩阵 $A$ 组成，使得属于特定类别的所有信号 $x$ 都能从 $\textrm{sign}(Ax)$ 中近似恢复。1-bit CS 刻画了极端量化效应，即每次测量仅揭示一个比特的信息。我们关注有界{\em 动态范围}的{\em 稀疏}信号在 1-bit CS 下的通用支撑恢复问题。具体而言，若向量 $x \in \mathbb{R}^n$ 至多具有 $k$ 个非零项，则称其稀疏度为 $k$；若其最大与最小非零项绝对值之比至多为 $R$，则称其动态范围为 $R$。我们的主要结果表明，若测量矩阵 $A$ 的条目为独立同分布高斯变量，则在 $k$ 与 $R$ 的缩放满足温和假设下，使用 $1$-bit CS 恢复动态范围为 $R$ 的 $k$-稀疏信号的支撑所需的测量数为 $\tilde{\Omega}(Rk^{3/2})$。此外，我们证明一个近乎匹配的 $O(R k^{3/2} \log n)$ 上界可作为已知结果的简单推论得出。该 $k^{3/2}$ 缩放关系与恢复任意 $k$-稀疏信号支撑所需测量数的已知下界 $\tilde{\Omega}(k^2 \log n)$ 形成对比。