1比特压缩感知：重构与基于RRSP的符号恢复理论

近期，1比特压缩感知（1-bit CS）在稀疏信号恢复领域得到了研究。由于在 1-bit CS 中稀疏信号的幅度信息不可用，通常能够通过解码方法精确恢复的是信号的支持集或符号。在本文中，我们首先指出，对于 1-bit CS 的一些现有理论和讨论应当引入一个必要的假设（该假设在文献中被忽略）。若无此假设，某些现有解码算法求得的解可能与 1-bit 测量值不一致。这促使我们探索新方向，利用一种始终生成与 1-bit 测量值一致的解的新解码方法，为 1-bit CS 发展一致与非一致恢复理论。我们关注 1-bit CS 的一个极端情况，即测量值仅捕获传感矩阵与信号乘积的符号。我们证明 1-bit CS 模型可等价重构为带有线性约束的 $\ell_0$ 最小化问题。这种重构自然引出了一种新的基于线性规划的解码方法，称为 1-bit 基追踪，它与现有重构形式显著不同。结果表明，1-bit 基追踪解的唯一性条件产生了转置传感矩阵的所谓受限范围空间性质（RRSP）。该概念为通过 1-bit 测量发展稀疏信号的符号恢复条件提供了基础。我们证明，如果能利用 1-bit 基追踪从 1-bit 测量中精确恢复稀疏信号的符号，则传感矩阵必须具备某种 RRSP；并且如果传感矩阵具备略微增强的 RRSP，则 $k$-稀疏信号的符号可通过 1-bit 基追踪精确恢复。