基于最小二乘的 1-bit 压缩采样鲁棒解码

在 1-bit 压缩感知（1-bit CS）中，目标信号被编码为二值测量，其目标之一是从带噪且量化的样本中恢复信号。从数学上讲，1-bit CS 模型为：$y = \eta \odot\textrm{sign} (\Psi x^* + \epsilon)$，其中 $x^{*}\in \mathcal{R}^{n}, y\in \mathcal{R}^{m}$， $\Psi \in \mathcal{R}^{m\times n}$，$\epsilon$ 为量化前的随机误差，$\eta\in \mathcal{R}^{n}$ 为建模符号翻转的随机向量。由于非线性、噪声和符号翻转的存在，从 1-bit CS 中解码极具挑战性。本文我们考虑在超定和欠定设置下的最小二乘方法。对于 $m>n$，我们证明，至多差一个常数 $c$，以高概率，只要 $m \geq\widetilde{\mathcal{O}}(\frac{n}{\delta^2})$，最小二乘解 $x_{\textrm{ls}}$ 即以精度 $\delta$ 逼近 $x^*$。对于 $m< n$，我们证明，至多差一个常数 $c$，以高概率，只要 $m \geq \mathcal{O}( \frac{s\log n}{\delta^2})$ 且 $\|x^*\|_0 := s < m$，$\ell_1$ 正则化最小二乘解 $x_{\ell_1}$ 即落在以 $x^*$ 为中心、半径为 $\delta$ 的球内。我们引入一种牛顿型方法，即所谓原对偶活跃集（PDAS）算法，以求解该非光滑优化问题。PDAS 具有一步收敛的性质，仅需在活跃集上求解一个小型最小二乘问题。因此，PDAS 通过连续化恢复稀疏信号时极为高效。我们提出了一种新颖的正则化参数选择规则，其不引入任何额外计算开销。大量数值实验展示了我们所提模型的鲁棒性与算法的高效性。