一种基于概率近似正确学习理论的单比特压缩感知方法

本文将单比特压缩感知问题表述为概率近似正确学习中的一个问题。我们证明了由 $k$-稀疏向量生成的 $\mathbb{R}^n$ 中半空间的 Vapnik-Chervonenkis 维数的下界为 $k \lg (n/k)$，上界为 $2k \lg (n/k)$，外加一些舍入项。通过将此估计与 PAC 学习理论中公认的结果相结合，我们证明了一个一致算法可以仅利用测量向量的符号，通过 $O(k \lg (n/k))$ 次测量恢复一个 $k$-稀疏向量。该结果对 $\mathbb{R}^n$ 上的所有概率测度均成立。进一步证明，随机符号翻转错误仅导致 $O(k \lg (n/k))$ 估计中的常数增大。由于构造一个一致算法并非易事，我们提出了一种基于 $\ell_1$-范数支持向量机的启发式方法，并说明其计算性能优于当前一种流行的方法。